BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN LỚP 9

     

Nội dung kỹ năng và kiến thức về con đường tròn trong công tác toán 9 khá nhiều, quan trọng các dạng toán về đường tròn có khá nhiều bài tập khá khó khăn làm cho nhiều người học sinh hoảng sợ khi giải các bài tóa này.

Bạn đang xem: Bài tập về đường tròn lớp 9


Vì vậy, nội dung bài viết dưới đây đã hệ thống lại kỹ năng và kiến thức về đường tròn và những dạng bài bác tập toán về con đường tròn với hướng dẫn phương pháp giải đưa ra tiết để qua đó giúp những em dễ dàng nhớ các tính chất về cung, dây cung, góc nội tiếp mặt đường tròn, góc ở chổ chính giữa đường tròn, vị trí tương đối của đường tròn,...

*
Lý thuyết mặt đường tròn và các dạng toán về đường tròn

A. Triết lý Đường tròn

I. Sự khẳng định của mặt đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn

1. Đường tròn

- Đường tròn trọng tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm những điểm biện pháp điểm O một khoảng cách bằng R.

2. Vị trí tương đối của một điểm cùng với một đường tròn

- mang đến đường tròn vai trung phong (O;R) và điểm M.

M nằm trên phố tròn (O;R) ⇔ OM = RM nẳm trong mặt đường tròn (O;R) ⇔ OM M nẳm ngoài đường tròn (O;R) ⇔ OM > R

3. Cách xác định đường tròn

- Qua tía điểm không trực tiếp hàng ta vẽ được một và duy nhất đường tròn.

4. Tính chất đối xứng của con đường tròn

- Đường tròn là hình gồm tâm đối xứng. Trung tâm của con đường tròn là trung tâm đối xứng của của mặt đường tròn đó.

- Đường tròn là hình bao gồm trục đối xứng, trục bất kỳ đường kính nào thì cũng là trục đối xứng của đường tròn.

II. Dây của con đường tròn

1. So sánh độ dài của đường kính và dây

- trong những dây của con đường tròn dây lớn nhất là mặt đường kính

2. Tình dục vuông góc giữa 2 lần bán kính và dây

- trong một mặt đường tròn, 2 lần bán kính vuông góc với một dây thì trải qua trung điểm của dây ấy.

- trong một con đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.

3. Contact giữa dây và khoảng cách từ chổ chính giữa đến dây

+ trong 1 đường tròn:

2 dây đều nhau thì cách đều tâm

2 dây cách đều trọng tâm thì bởi nhau

+ vào 2 dây của 1 đường tròn

Dây làm sao lớn hơn thế thì dây kia gần tâm hơn

Dây nào bé dại hơn thì dây đó xa trung khu hơn

III. Vị trí kha khá của con đường thẳng với con đường tròn

1. Vị trí kha khá của đường thẳng với con đường tròn

- cho đường tròn chổ chính giữa (O;R) và đường thẳng Δ, đặt d = d(O,Δ) lúc đó:

Đường thẳng giảm đường tròn tại 2 điểm phân biệt ⇔ dĐường thẳng tiếp xúc với con đường tròn ở 1 điểm ⇔ d=RĐường trực tiếp và đường tròn ko giao nhau ⇔ d>R

- Khi đường thẳng và con đường tròn tiếp xúc nhau thì con đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của mặt đường tròn. Điểm chung giữa con đường thẳng và con đường tròn hotline là tiếp điểm.

2. Vết hiệu phân biệt tiếp tuyến của con đường tròn

- ví như 1 mặt đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

- Nếu 1 mặt đường thẳng đi qua một điểm của mặt đường tròn và vuông góc với nửa đường kính đi qua đặc điểm đó thì đường thắng ẩy là tiếp đường cùa mặt đường tròn.

3. Tính chất của nhị tiếp tuyến giảm nhau

- Nếu hai tiếp đường cùa một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điếm đó biện pháp đều nhị tiếp điểm.Tia kẻ từ đặc điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo vày hai tiếp tuyến.Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo vày hai nửa đường kính (đi qua các tiếp điểm)

4. Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn xúc tiếp với cha cạnh cùa một tam giác được điện thoại tư vấn là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là nước ngoài tiếp đường tròn.Tâm cùa mặt đường tròn nội tiếp tam giác được call là giao điểm cùa những đường phân giác các góc vào tam giác.

5. Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn xúc tiếp với một cạnh cùa một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh tê được điện thoại tư vấn là đường tròn bàng tiếp tam giác.Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.Tâm cùa mặt đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm cùa hai tuyến đường phân giác những góc quanh đó tại B cùng C, hoặc là giao điểm cùa đường phân giác góc A và mặt đường phân giác bên cạnh tại B (hoặc C).

IV. Vị trí tương đối của hai tuyến đường tròn

1. đặc thù đường nối tâm

- Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng cùa hình bao gồm cà hai tuyến phố tròn đó.

- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì nhị giao điếm đồi xứng cùng nhau qua đường nối tâm.

- Nếu hai mặt đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

2. Vị trí kha khá của hai đường tròn.

+ đến 2 mặt đường tròn (O; R) cùng (O"; r) để OO"=d

- hai tuyến phố tròn giảm nhau tại 2 điểm ⇔ R-r R + r

O cất O" ⇔ d 3. Tiếp tuyến phổ biến của hai đường tròn

- Tiếp tuyến chung cùa hai đường tròn là mặt đường thẳng tiếp xúc với cả hai con đường tròn đó.

- Tiếp con đường chung xung quanh là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

- Tiếp tuyến thông thường trong là tiếp tuyến thông thường cắt đoạn nối tâm.

V. Liên hệ giữa cung với dây

1. Định lí 1

+ Với nhị cung bé dại trong một mặt đường tròn xuất xắc trong hai đường tròn bằng nhau:

- nhì cung đều bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- nhị dây đều bằng nhau căng hai cung bởi nhau.

2. Định lí 2

+ Với nhì cung bé dại trong một mặt đường tròn hay trong hai đường tròn bởi nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

3. Bửa sung

+ trong một mặt đường tròn, hai cung bị chắn giữa nhị dây tuy vậy song thì bằng nhau.

+ vào một đường tròn, đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ trong một con đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điếm vị trí trung tâm của cung bị căng vày dây ấy.

+ trong một con đường tròn, 2 lần bán kính đi qua điếm vị trí trung tâm của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy với ngược lại.

VI. Góc nội tiếp đường tròn

1. Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc bao gồm đỉnh nằm trê tuyến phố tròn và hai cạnh đựng hai dây cung của con đường tròn ấy.

- Cung nằm phía bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

2. Định lí: vào một đường tròn, số đo của góc nội tiép bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

+ vào một mặt đường tròn:

- các góc nội tiếp bằng nhau chắn những cung bằng nhau.

- các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn những cung đều nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90° có số đo bởi nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường trònlà góc vuông.

Xem thêm: Cách Vẽ Biểu Đồ Đường Thẳng Trong Excel 2010, Cách Để Tạo Biểu Đồ Đường Trong Microsoft Excel

VI. Góc tạo bởi vì tiếp đường và dây cung

1. Định lí: Số đo của góc tạo vì tiếp đường và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

2. Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo vì tia tiếp tuyến đường và dây cung cùng góc nội tiếp thuộc chắn một cung thì bởi nhau.

3. Định lí (bổ sung)

- nếu như góc BAx (với đỉnh A nằm trê tuyến phố tròn, một cạnh cất dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên phía trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp con đường của con đường tròn.

VIII. Góc sống đỉnh bên trong, cùng góc làm việc đỉnh bên phía ngoài đường tròn

Định lí 1: Số đo của góc tất cả đỉnh ở phía bên trong đường tròn bởi nửa tổng so đo hai cung bị chắn.

Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên phía ngoài đường tròn bằng nửa hiệu so đo nhị cung bị chắn.

IX. Cung cất góc

1. Quỹ tích cung chứa góc

- cùng với đoạn trực tiếp AB cùng góc ∝ (00 hai cung đựng góc ∝ nói trên là hai cung tròn đối xứng cùng nhau qua AB.Hai điếm A, B được coi là thuộc quỹ tích.Đặc biệt: Quỹ tích các điếm M quan sát đoạn trực tiếp AB đến trước bên dưới một góc vuông là đường tròn 2 lần bán kính AB.

2. Bí quyết vẽ cung đựng góc ∝

Vẽ mặt đường trung trực d của đoạn thắng AB.Vẽ tia Ax tạo với AB một góc ∝Vẽ con đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.Vẽ cung AmB, tâm O, nửa đường kính OA thế nào cho cung này nằm tại nửa mặt phẳng bờ AB không cất tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một trong những cung cất góc ∝.

3. Biện pháp giải vấn đề quỹ tích

- Muốn minh chứng quỹ tích (tập hợp) các điếm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: đều điếm có đặc thù T mọi thuộc hình H.Phần đảo: các điểm ở trong hình H đều phải có tính hóa học T.

Kết luận: Quỹ tích các điếm M có tính chất T là hình H.

X. Tứ giác nội tiếp

1. Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh vị trí một mặt đường tròn được call là tứ giác nội tiếp mặt đường tròn.

2. Định lí

- vào một tứ giác nội tiêp, tổng thể đo 2 góc đối lập bằng 180o

- ví như một tứ giác có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

3. Một vài dấu hiệu phân biệt tứ giác nội tiếp

- Tứ giác bao gồm bốn đỉnh nằm tại một con đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.

- Tứ giác bao gồm tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o thì tứ giác kia nội tiếp được đường tròn.

- Tứ giác ABCD gồm 2 đỉnh C và D sao cho 

*
 thì tứ giác ABCD nội tiếp được.

XI. Đường tròn nội tiếp, mặt đường tròn nước ngoài tiếp

1. Định nghĩa

Đường tròn đi qua toàn bộ các đỉnh của một nhiều giác được hotline là đường tròn nước ngoài tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp mặt đường tròn.Đường tròn xúc tiếp với tất cả các cạnh của một đa giác được điện thoại tư vấn là mặt đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được hotline là đa giác nước ngoài tiếp đường tròn.

2. Định lí

- bất kỳ đa giác phần lớn nào cũng có thể có một và chỉ một đường tròn nước ngoài tiếp, có một và duy nhất đường tròn nội tiếp.

- trọng điểm của hai tuyến phố tròn này trùng nhau cùng được hotline là tâm của đa giác đều.

- chổ chính giữa này là giao điểm hai đường trung trực của nhị cạnh hoặc là hai tuyến đường phân giác của nhị góc.

* Chú ý:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhiều giác là khoảng cách từ trung tâm đến đỉnh.Bán kính mặt đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O mang lại 1 cạnh.Cho n_ giác (đa giác bao gồm n cạnh) các cạnh a. Khi đó:Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi)Mỗi góc nghỉ ngơi đỉnh của đa giác tất cả số đo bằng: 180o(n-2)/nMỗi góc ở trung tâm của đa giác có số đo bằng: 360o/nBán kính mặt đường tròn nước ngoài tiếp R = a/(2sin(180o/n)) ⇒ a = 2.R.sin(180o/n)Bán kính mặt đường tròn nội tiếp r = a/(2tan(180o/n)) ⇒ a = 2.r.tan(180o/n)Liên hệ giữa nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp và nội tiếp: R2 - r2 = a2/4Diện tích nhiều giác đều: S = (1/2)nar

XII. Độ dài con đường tròn, cung tròn

1. Phương pháp tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

- Độ nhiều năm C của một con đường tròn nửa đường kính R được tính theo công thức

*
 hoặc 
*
 (d=2R)

2. Phương pháp tính độ dài cung tròn

Trên mặt đường tròn nửa đường kính R, độ dài l của một cung no được xem theo công thức: 

*

XIII. Diện tích s hình tròn, hình quạt tròn

1. Cách làm tính diện tích s hình tròn

- diện tích S của một hình tròn trụ bán kính R được xem theo công thức: 

*

2. Cách làm tính diện tích hình quạt tròn

- diện tích hình quạt tròn nửa đường kính R cung no được xem theo công thức

*
 hay 
*
 (l là độ nhiều năm cung no của hình quạt tròn)

B. Những dạng bài bác tập về đường tròn

Dạng 1: chứng minh nhiều điểm cùng thuộc 1 con đường tròn

* Phương pháp: chứng minh các điểm đã cho cách đều 1 điểm cho trước

Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao lần lượt là AD, BE, CF. Chứng minh rằng, bốn điểm B,C,E,F thuộc nằm bên trên một đường tròn.

* Lời giải:

- Theo đưa thiết:

 BE là con đường cao ⇒ BE ⊥ AC ⇒

*
 = 900.

 CF là mặt đường cao ⇒ CF ⊥ AB ⇒

*
 = 900.

⇒ E cùng F cùng quan sát BC dưới một góc 900

⇒ E và F thuộc nằm trê tuyến phố tròn đường kính BC.

⇒ Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm bên trên một con đường tròn.

• Dạng 2: Xác định tâm và nửa đường kính của mặt đường tròn ngoại tiếp

* Phương pháp:

- Tam giác thường: Vẽ hai đường trung trực, giao của 2 đường trung trực là tâm của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác

- Tam giác vuông: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

- Tam giác cân: trọng điểm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác nằm trên đường cao hạ trường đoản cú đỉnh xuống lòng tam giác.

- Tam giác đều: trung tâm của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác trùng cùng với trọng tâm, trực chổ chính giữa và trung khu đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 1: Tính bán kính của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC vuông cân bao gồm cạnh góc vuông bằng a.

* Lời giải:

- Theo định lý pitago ta tính chiều dài cạnh huyền, ta có:

*

- vị tam giác vuông cân, phải tâm mặt đường tròn là trung điểm của cạnh huyền với chiều dài bán kính là:

*

Ví dụ 2: Xác định trung khu và nửa đường kính của mặt đường tròn trung khu (O) nước ngoài tiếp tam giác rất nhiều ABC gồm cạnh bằng a.

* Lời giải:

- vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp tam giác hồ hết ABC là trực vai trung phong của tam giác ABC.

- từ bỏ A hạ đường cao AH xuống BC, ta có:

*

- bí quyết suy ra tự pitago:

*
*
*

⇒ chổ chính giữa đường tròng là trực trọng tâm của tam giác cùng có cung cấp kính: 

*

Bài tập 1: Cho hình thoi ABCD .Gọi O là giao điểm nhị đường chéo ; M,N,R,S là hình chiếu của O theo lần lượt trên AB , BC, CD cùng DA . Chứng minh 4 điểm M,N,R,S nằm trong một con đường tròn .

* Lời giải: Chứng minh 4 tam giác vuông bằng nhau.

ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO

(vì cạnh huyền đều nhau ,góc nhọn bằng nhau)

* Suy ra OM = ON = OR = OS

* Vậy M,N,R,S ∈ O

Bài tập 2: Cho Δ ABC cân nặng tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH cắt Đường tròn sống D .

1) Vì sao AD là đường kính của (O) ?

2) Tính số đo góc ACD ?

3) Cho BC = 24 centimet ; AC = đôi mươi cm ;Tính độ cao AH và nửa đường kính của (O)

* Lời giải:

1) Vì trung tâm O là giao điểm của 3 mặt đường trung trực của Δ ABC

Mà Δ ABC cân nặng ở A cần đường cao AH cũng đó là trung trực ⇒ O ∈ AH

⇒ AD là dây qua chổ chính giữa ⇒ AD là mặt đường kính

2) Nối DC; OC

Ta bao gồm CO là trung tuyến nhưng mà CO = AD/2 = R

⇒ Δ ACD vuông làm việc C đề xuất = 900

3) Vì AH là trung trực ⇒ bảo hành = HC = BC/2 =24/2 = 12

Xét Δ vuông AHC gồm :

*

Xét Δ vuông ACD bao gồm : AC2 = AH .AD

⇒ AD = AC2 / AH = 202 /16 = 25 cm ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm

Bài tập 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn, vẽ điểm N đối xứng với A qua M; BN cắt đường tròn trên C, gọi E là giao điểm của AC và BM.

1) bệnh minh:NE ⊥ AB

2) điện thoại tư vấn F là điểm đối xứng cùng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . đưa sử HB=R/2 , tính CB; AC theo R

Bài tập 4: Cho con đường tròn (O; R) 2 lần bán kính AB, mang điểm C trên đường tròn làm sao để cho AC = R.

1) Tính BC theo R và các góc của tam giác ABC.

2) call M là trung điểm của AO, vẽ dây CD trải qua M. Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi.

Xem thêm: Giải Sgk Công Nghệ Bài 6 Lớp 11 (Giai, Bài 6 Công Nghệ 11 Đề 3

3) Tiếp tuyến đường tại C của mặt đường tròn cắt đường trực tiếp AB tại E. Minh chứng ED là tiếp đường của mặt đường tròn (O)

4) hai tuyến phố thẳng EC và vì chưng cắt nhau tại F. Chứng tỏ C là trung điểm của EF

Bài tập 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R’) tiếp xúc xung quanh tại A. Kẻ tiếp đường chung kế bên BC. Với B ∈ (O) và C (O")

1) Tính góc BÂC

2) Vẽ đường kính BOD. Chứng tỏ 3 điểm C, A, D thẳng hàng

3) Tính DA.DC

4) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến đường của mặt đường tròn có đường kính BC, và tính BC?

Bài tập 6: Cho đường tròn trung ương O, đường kính AB. Bên trên đường tròn lấy 1 điểm C sao để cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H

1) Chứng minh : AE=AF và BE=BF

2) ADCO là tứ giác nội tiếp

3) DC2=DE.DB

4) AF.CH=AC.EC

5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)

6) Từ E kẻ đường thẳng tuy nhiên song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng

Hy vọng với phần ôn tập cụ thể và vừa đủ về định hướng đường tròn và bài tập áp dụng sinh sống trên để giúp đỡ các em nắm vững kiến thức hơn về phần này. Phần đa thắc mắc những em hãy nhằm lại comment dưới bài viết, chúc những em học tập giỏi và đạt công dụng cao.