Các Công Thức Nguyên Hàm

     

Nguyên hàm là trong số những chuyên đề đặc biệt quan trọng của Giải tích Toán 12 và thường xuất hiện thêm nhiều trong các kì thi đại học. Vậy có những công thức nguyên hàm quan trọng đặc biệt nào cần nhớ? Team depsangtrong.com Education sẽ giúp các em đáp án và tìm nắm rõ hơn về bảng bí quyết nguyên hàm từ bỏ cơ bạn dạng đến cải thiện và phương thức giải bài xích tập nguyên hàm thông dụng qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Các công thức nguyên hàm


học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh cải tiến vượt bậc điểm số 2022 – 2023 tại depsangtrong.com Education

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào tò mò công thức về nguyên hàm, những em cần nắm vững khái niệm nguyên hàm tương tự như các đặc thù và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K, lúc này hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K ví như F’(x) = f(x) (với hầu như x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:


Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

Định lý 1: mang sử F(x) là 1 trong những nguyên hàm của f(x) bên trên K. Lúc đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong những nguyên hàm của f(x).Định lý 2: bên trên K, nếu như F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) thì số đông nguyên hàm của f(x) trên K đều phải có dạng F(x) + C, với C là một trong hằng số tùy ý.Định lý 3: bên trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

Tính hóa học nguyên hàm

3 tính chất cơ bản của nguyên hàm được diễn đạt như sau:


eginaligned&footnotesizeull extNếu f(x) là hàm số tất cả nguyên hàm thi: (smallint f(x)dx)"=f(x) extvà \ &footnotesizesmallint f"(x)dx=f(x) +C.\&footnotesizeull extNếu F(x) có đạo hàm thì smallint d(F(x))=F(x)+C.\&footnotesizeull extTích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: smallint kf(x)dx=ksmallint f(x)dx.\&footnotesizeull extTổng, hiệu của nguyên hàm: smallint =smallint f(x)dxpm smallint g(x)dxendaligned

Bảng phương pháp nguyên hàm cơ bản, không ngừng mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều sở hữu những bí quyết riêng. Những phương pháp này đã được tổng thích hợp thành các bảng dưới đây để các em dễ dàng phân loại, ghi nhớ và áp dụng chính xác.


*

*

*

*

2 phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi đổi thay số

Đây là cách thức được áp dụng rất nhiều lúc giải nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần phải nắm vững cách thức này nhằm giải những bài toán nguyên hàm nhanh và đúng mực hơn.

Phương pháp đổi thay đổi loại 1:

Cho hàm số u = u(x) bao gồm đạo hàm thường xuyên trên K, y = f(u) thường xuyên để f xác định trên K cùng ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫fu"(x)dx = F + C

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) cùng tính vi phân hai vế: dt = φ"(t)dt.

Sau đó, thay đổi biểu thức thành: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Xem thêm: Chiếu Đồng Thời 2 Bức Xạ Có Bước Sóng Λ1 = 0,72 Μm Và Λ2 Vào Kh

Phương pháp đổi biến hóa loại 2: Khi đề bài xích cho hàm số f(x) liên tiếp trên K và x = φ(t) là một trong những hàm số xác định, liên tiếp trên K và có đạo hàm là φ"(t). Dịp này:

∫f(x)dx = ∫f<φ(t)>.φ"(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhì vế: dx = φ"(t)dt.

Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) với v(x) tất cả đạo hàm liên tiếp trên K thì:


small smallint u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-smallint v(x)u"(x)dx exthay smallint udv=uv-smallint vdu\ ( extvới du=u"(x)dx, dv=v"(x)dx)
Cách giải:

Trước hết, những em cần biến hóa tích phân thứ nhất về dạng:


I=int f(x)dx=int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:


egincasesu=f_1(x)\dv=f_2(x)endcasesimplies egincasesdu=f"_1(x)dx\v=int f_2(x)dxendcases
Lúc này thì những em sẽ có:


smallint udv=uv-smallint vdu
Tùy ở trong vào từng dạng toán cụ thể mà các em áp dụng phương pháp sao đến phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường xuyên gặp

Dạng 1:


*

Dạng 2:


Dạng 3:


Bài tập về cách làm nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu tư tưởng nguyên hàm của hàm số đến trước f(x) trên một khoảng.

b. Phương thức tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác minh trên tập xác minh D.

Hàm số Y = F(x) được call là nguyên hàm của hàm số y = f(x) bên trên D khi Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F"(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: Sinh Học 12 Bài 11: Liên Kết Gen Hoán Vị Gen Và Hoán Vị Gen, Sinh Học 12 Bài 11: Liên Kết Gen Và Hoán Vị Gen

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được tư tưởng như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) với v = v(x) bao gồm đạo hàm liên tiếp trên D, khi đó ta gồm công thức: