Chứng Minh Hình Thang Cân

     

Cách chứng tỏ hình thang cân sớm nhất và bài bác tập vận dụng

Chuyên đề về hình thang cũng như cách chứng minh hình thang cân học viên đã được mày mò trong công tác Toán 8, phân môn Hình học. Đây là phần loài kiến thức đặc biệt của chương trình. Nhằm mục đích giúp các bạn nắm chắc chắn thêm về chăm đề này cũng như thông thành thạo cách minh chứng hình thang cân, thpt Sóc Trăng.vn đã phân tách sẻ nội dung bài viết sau đây. 

I. LÝ THUYẾT VỀ HÌNH THANG CÂN


1. Định nghĩa

Bạn đang xem: Cách chứng minh hình thang cân nhanh nhất và bài tập vận dụng

Hình thang cân nặng là hình thang gồm hai góc kề một đáy bằng nhau.

Bạn đang xem: Chứng minh hình thang cân


*

Tứ giác ABCD là hình thang cân nặng (đáy AB; CD)

⇔AB//CD”>⇔AB//CD và Góc C = Góc D

2. Tính chất

– tính chất 1: Trong một hình thang cân, hai sát bên bằng nhau.

Ví dụ: ABCD là hình thang cân nặng (AB // CD)

=> AD = BC

– tính chất 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

*

Ví dụ: Cho ABCD là hình thang cân nặng (AB // CD)

=> AC = BD

– đặc thù 3: Hình thang cân luôn luôn nội tiếp được vào một đường tròn.

*

Ví dụ: ABCD là hình thang cân nặng (AB // CD)

=> luôn có một mặt đường tròn trọng tâm O nội tiếp hình thang này

3. Dấu hiệu phân biệt hình thang cân

Hình thang bao gồm hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.Hình thang bao gồm hai đường chéo cánh bằng nhau là hình thang cân.

Lưu ý:

Hình thang cân nặng thì gồm 2 ở bên cạnh bằng nhau nhưng hình thang tất cả 2 sát bên bằng nhau chưa chắc chắn rằng hình thang cân. Ví dụ như hình vẽ bên dưới đây:

*

Ví dụ:

+ ABCD">ABCDABCD là hình thang cân thì AD=BC;AC=BD">AD=BC;AC=BDAD=BC;AC=BD

+ Tứ giác ABCD">ABCDABCD có {AB//CDD^=C^⇔ABCD">{AB//CDˆD=ˆC⇔ABCD{AB//CDD^=C^⇔ABCD là hình thang cân.

+ Tứ giác ABCD">ABCDABCD có {AB//CDA^=B^⇔ABCD">{AB//CDˆA=ˆB⇔ABCD{AB//CDA^=B^⇔ABCD là hình thang cân.

+ Tứ giác ABCD">ABCDABCD có {AB//CDAC=BD⇔ABCD">{AB//CDAC=BD⇔ABCD{AB//CDAC=BD⇔ABCD là hình thang cân.

II. CÁCH CHỨNG MINH HÌNH THANG CÂN

1. Phương pháp chứng minh

Phương pháp 1:

Để chứng minh tứ giác chính là hình thang cân nặng ta phải chứng tỏ tứ giác đó bao gồm 2 cạnh song song với nhau phụ thuộc các cách chứng tỏ song tuy vậy như sau:

Hai góc đồng vị bởi nhau.Hai góc so le trong bởi nhau.Hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý trường đoản cú góc vuông cho góc tuy nhiên song.

Phương pháp 2:

Chứng minh hình thang đó có hai góc kề một cạnh đáy đều nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Phương pháp 3:

Chứng minh hình thang đó gồm hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Đây là 3 phương pháp rất tuyệt được sử dụng để các em có thể sử đụng để làm bài tập về chứng minh hình thang cân.

Cách minh chứng một tứ giác là hình thang cân?

Chứng minh tứ giác chính là hình thang ⇒ Chứng minh tứ giác đó gồm 2 cạnh song song với nhau ⇒ dựa vào những cách chứng tỏ song tuy vậy như: nhì góc đồng vị bởi nhau, nhì góc so le trong bởi nhau, hai góc trong thuộc phía bù nhau hoặc định lý trường đoản cú góc vuông mang đến góc song songChứng minh hình thang là hình thang cân theo hai cách ở trên

2. Một vài ví dụ về cách chứng minh hình thang cân

Ví dụ 1:

Cho hình thang cân nặng ABCD có AB||CD, AB→ ⊿AHD = ⊿BKD ( theo trường hợp cạnh huyền-góc nhọn)→ DH=KC (đpcm)

 Ví dụ 2:

Trong các tứ giác ABCD, EFGH trên chứng từ kẻ ô vuông (h.31), tứ giác nào là hình thang cân? vì chưng sao?

*

Lời giải:

Để nhận biết được tứ giác nào là hình thang cân thì phải dùng tính chất: “Hình thang cân nặng có hai cạnh bên bằng nhau”.

Tứ giác ABCD là hình thang cân bởi vì AD = BC.Tứ giác EFGH ko là hình thang cân vị EF > GH.

III. BÀI TẬP VỀ CHỨNG MINH HÌNH THANG CÂN

Bài 1. Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy tờ kẻ ô vuông (h.30, độ dài của cạnh ô vuông là 1cm).

 

*

Lời giải:

Theo hình vẽ, ta có: AB = 2cm, CD = 4cm.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AED ta được:

AD2 = AE2 + ED2 = 32 + 12 = 10.

Suy ra AD = √10 cm

Vậy AB = 2cm, CD = 4cm, AD = BC = √10 cm

Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB ⇒ ΔADC = ΔBCD (c.g.c) ⇒ ∠ACD = ∠BDC.

Ta có: ∠ACD = ∠BDC ⇒ ∠ECD = ∠EDC ⇒ΔECD cân tại E ⇒ ED = EC

Mặt khác: AC = BD (ABCD là hình thang cân)

Bài 4. Đố. Trong các tứ giác ABCD, EFGH trên chứng từ kẻ ô vuông (h.31), tứ giác làm sao là hình thang cân? bởi sao?

 

*

Lời giải:

Để xét coi tứ giác như thế nào là hình thang cân nặng ta dùng tính chất “Trong hình thang cân hai kề bên bằng nhau”.

Tứ giác ABCD là hình thang cân do AD = BC.

Tứ giác EFGH ko là hình thang cân vì EF > GH.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân nặng tại A. Bên trên các ở bên cạnh AB, AC lấy theo thứ tự những điểm D, E làm sao để cho AD = AE

a) chứng tỏ rằng BDEC là hình thang cân.

b) Tính các góc của hình thang cân đó, hiểu được góc A = 50o.

Lời giải:

 

*

a)Ta bao gồm AD = AE (gt) đề xuất ∆ADE cân

Do kia ∠D1 = ∠E1

Trong tam giác ADE có: ∠D1 + ∠E1+ ∠A = 1800

Hay 2∠D1= 1800 – ∠A ⇒ ∠D1= (1800 – ∠A)/2

Tương tự vào tam giác cân ABC ta có ∠B = (1800 – ∠A)/2

Nên ∠D1= ∠B nhưng mà góc ∠D1 , ∠B là hai góc đồng vị.

Suy ra DE // BC

Do kia BDEC là hình thang.

Lại có ΔABC cân nặng tại A ⇒ ∠B = ∠C Nên BDEC là hình thang cân.

b) Với ∠A=500 Ta được ∠B = ∠C = (1800 – ∠A)/2 = (1800 – 500)/2= 650

∠D2 = ∠E2= 1800 – ∠B = 1800 – 650= 1150

Bài 6: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, những đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Minh chứng rằng BEDC là hình thang cân tất cả đáy bé dại bằng cạnh bên.

Xem thêm: Trong Một Nhóm A Trừ Nhóm - Trong Một Nhóm A, Trừ Nhóm Viiia Theo

Lời giải:

 

*

a) ΔABD cùng ΔACE có:

AB = AC (gt)

∠A chung; ∠B1 = ∠C1

Nên ΔABD = ΔACE (g.c.g)

Suy ra AD = AE.

Chứng minh BEDC là hình thang cân như câu a của bài 15.

b) vày BEDC là hìnhthang cân đề nghị DE // BC.

Suy ra ∠D1 = ∠B2 (so le trong)

Lại bao gồm ∠B2 = ∠B1 nên ∠B1= ∠A1

Do kia tam giác EBD cân. Suy ra EB = ED.

Vậy BEDC là hình-thang-cân có đáy bé dại bằng cạnh bên.

Bài 7: Hình thang ABCD (AB // CD) có ∠ACD = ∠BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

*

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

∆ECD có ∠C1 = ∠D1 (do ∠ACD = ∠BDC) bắt buộc là tam giác cân.

Suy ra EC = ED (1)

Tương từ bỏ ∆EAB cân tại A suy ra: EA = EB (2)

Từ (1) với (2) ta có: EA + EC = EB + ED ⇒ AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo cánh bằng nhau nên là hình thang cân.

Bài 8: Chứng minh định lý: “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân” qua bài toán sau: mang lại hình thang ABCD (AB // CD) bao gồm AC = BD. Qua B kẻ mặt đường thẳng tuy vậy song với AC, giảm đường trực tiếp DC tại tại E. Minh chứng rằng:

a) ΔBDE là tam giác cân.

b) ΔACD = ΔBDC

c) Hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

 

*

a) Ta tất cả AB//CD suy ra AB // CE với AC//BE

Xét Hình thang ABEC (AB // CE) gồm hai ở bên cạnh AC, BE tuy vậy song buộc phải chúng bằng nhau: AC = BE (1)

Theo mang thiết AC = BD (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra BE = BD vì vậy tam giác BDE cân.

b) Ta bao gồm AC // BE suy ra ∠C1 = ∠E (3)

∆BDE cân tại B (câu a) nên ∠D1 = ∠E (4)

Từ (3) và (4) suy ra ∠C1 = ∠D1

Xét ∆ACD và ∆BCD tất cả AC = BD (gt)

∠C1 = ∠D1 (cmt)

CD cạnh chung

Nên ∆ACD = ∆BDC (c.g.c)

c) ∆ACD = ∆BDC (câu b)

Suy ra ∠ADC = ∠BD

Hình thang ABCD bao gồm hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang-cân.

Bài 9 : Hình thang ABCD (AB//CD) tất cả A – D = 20o, B = 2C . Tính các góc của hình thang.

Giải.

 

*

Vì ABCD là hình thang (AB//CD), đề xuất ta có :

B + C = 180o (hai góc trong thuộc phía bù nhau)

2C + C = 180o ( vì B = 2C)

3C = 180o  C = 60o  B = 2.60o = 120o

A – D = 20o  A = đôi mươi + D

A + D = 180o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

20 + D + D = 180

2D = 160  D = 80 à A = trăng tròn + 80 = 100

Vậy A = 100 ; B = 120 ; C = 60 ; D = 80.

Bài 10 Tứ giác ABCD gồm AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Minh chứng rằng từ giác ABCD là hình thang.

Gợi ý :

AB = BC để làm gì?

AC là tia phân giác để làm gì?

Bài 11: Tứ giác ABCD tất cả BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Gợi ý : vẽ hình cùng làm tương tự bài toán 3.

Cách chứng minh một tứ giác là hình thang à chứng minh 2 cạnh tuy vậy song à 2 góc đồng vị bởi nhau, so le trong bằng nhau hoặc trong cùng phía bù nhau.

Bà 12: Hình thang vuông ABCD bao gồm A = D = 90o, C = 45o . Biết đường cao bằng 4cm. AB + CD = 10cm, Tính nhì đáy.

Gợi ý :

Vẽ hìnhĐường cao AD = 4cm.Dựng mặt đường cao BH à BH = AB = 4cm.Tam giác BHC vuông trên H với C = 45o à tam giác BHC là tam giác vuông cân à BH = CH = 4cm.AB + CD = 10

AB + DH + CH = 10

AB + AB + 4 = 10 (vì AB = DH)

2AB = 6 → AB = 3 → DH = 3 → DC = DH + CH = 3 + 4 = 7cm

Bài 13 : Cho tam giác ABC cân nặng tại A, các đường phân giác BD, CE (D

AC, E AB). Minh chứng rằng BEDC là hình thang cân tất cả đáy nhỏ tuổi bằng cạnh bên.

Gợi ý :

Bước 1 : minh chứng tứ giác BEDC là hình thang (hai góc đồng vị AED = ABC tính thông qua góc thông thường A của 2 tam giác cân nặng ABC cùng tam giác cân AED à chứng minh tam giác AED là tam giác cân à chứng minh AE = AD)

Bước 2 : BEDC là hình thang thuận lợi thấy B = C (vì tam giác ABC cân nặng tại A) à là hình thang cân.

Bài 14 : Cho hình thang cân nặng ABCD, tất cả đáy nhỏ tuổi AB bằng ở bên cạnh AD. Chứng tỏ rằng AC là tia phân giác của góc C.

Gợi ý :

ABCD là hình thang cân, đáy nhỏ tuổi AB

AB = AD (gt)

BC = AD (vì ABCD là hình thang cân)

Nên tam giác ABC cân tại B à học sinh tự bốn duy tiếp.

Bài 15 : Cho tam giác ABC cân nặng tại A. Trên sát bên AB, AC lấy những điểm M, N làm thế nào cho BM = CN.

a) minh chứng tứ giác BMNC là hình thang cân.

b)Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng A = 40o.

Xem thêm: Cấu Trúc As Well As Là Gì? Cách Dùng As Well As Trong Tiếng Anh

Gợi ý : tứ giác BMNC là hình thang cân  BMNC là hình thang (đồng vị, so le trong, trong cùng phía bù nhau)  hình thang cân (2 cách minh chứng hình thang cân).

Vậy là chúng ta vừa được share cách chứng tỏ hình thang cân nhanh nhất và nhiều bài bác tập vận dụng. Hi vọng, share cùng bài xích viết, bạn đã sở hữu thêm nhiều bí kíp hay trong vấn đề chứng minh hình thang nói chung, hình thang cân nói riêng. Cảm ơn các bạn đã đồng hành cùng bài viết ! Hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết sau !