Công thức tính tổng dãy số lũy thừa

     

Tính tổng hàng số lũy thừa là một dạng toán khó trong lịch trình Số học tập 6, Toán lớp 6. Để giải được yên cầu phải tất cả phương pháp.

Bạn đang xem: Công thức tính tổng dãy số lũy thừa

Đó là các phương pháp quy nạp, khử liên tiếp. Các em coi tiếp định hướng và bài tập vận dụng có giải thuật dưới đây.


Sn = a1 + a2 + . . . +an (*)

khi mà lại ta hoàn toàn có thể biết được hiệu quả (đề câu hỏi cho ta biết kết quả hoặc ta dự kiến được kết quả), thì ta sử dụng cách thức quy hấp thụ này để bệnh minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 +3 +5 +. . . +(2n -1)

° hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– Đầu tiên, ta test với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1

Thử cùng với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) (2.2 – 1) = 1 +3 = 4 = 22

Thử với n= 3, ta có: S3 = (2.1 – 1) (2.2 – 1) (2.3 – 1)= 1 +3 +5 = 9 = 32

… … …

– Ta dự đoán: Sn = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n2 

• phương pháp quy nạp: Sn = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n2 (*)

Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng cùng với n = k (k≠1), tức là:

Sk =1 +3 +5 . . . (2k -1) = k2 (1)

Ta cần minh chứng (*) đúng với n = k +1, tức là:

Sk +1 = 1 +3 +5 . . . (2k-1) (2k +1) = (k +1)2

Vì ta sẽ giải sử Sk đúng buộc phải ta đã tất cả (1), từ trên đây ta chuyển đổi để mở ra (2), (1) có cách gọi khác là giải thiết quy nạp.

1 +3 +5 . . . +(2k -1) = k2

1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k2 (2k +1) (cộng 2k+ 1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒ 1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k2 + 2k +1 = (k +1)2

• Tương từ như vậy, ta gồm thể chứng minh các tác dụng sau bằng phương thức quy nạp toán học:

1) 

*

2) 

*

3) 

*

4) 

*

II. Sử dụng cách thức khử tiếp tục tính tổng hàng số

– trả sử buộc phải tính tổng: Sn = a1 a2 . . . An (*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tục của 1 dãy khác, rõ ràng như sau:

a1 = b1 – b2

a2 = b2 – b3

… … …

an = bn – bn +1

⇒ lúc đó ta có: Sn = (b1 – b2)  (b2 – b3) … (bn – bn +1) = b1 – bn +1

* lấy ví dụ như 1: Tính tổng:

*

° Hướng dẫn: – Ta có:

*
*

*
 …; 
*

*
*

• Dạng tổng quát: 

*
*

* lấy một ví dụ 2: Tính tổng:

*

° Hướng dẫn: – Ta có:

*
 
*
 ;…; 
*

*
*

*

*

* ví dụ như 3: Tính tổng:

*

° Hướng dẫn: – Ta có:

*

*

*

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng phải tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ngơi nghỉ trên

* ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100 (*)

° phía dẫn:

* biện pháp 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

* bí quyết 2: Nhân 2 vế cùng với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101 (**)

– rước (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22 +. . . +2100)

⇔ S = 2101 – 1.

• tổng quát cho dạng toán này như sau:

*

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế cùng với vế ta được: 

*

* lấy ví dụ 2: Tính:

S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

° phía dẫn:– Ta có:

2S = 2(1 – 2 +22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S = 2101 + 1.

Xem thêm: Top 15 Weather And Geography Conditions May Determine The Type Of Transportation Used In A Region Hay Nhất 2022

*

• tổng quát cho dạng toán này như sau:

*

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế cùng với vế ta được: 

*

* lấy ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100 (*)

° phía dẫn:

– Với việc này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một trong những nào đó mà khi trừ vế cùng với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài bác này, ta thấy số mũ của 2 số tiếp tục cách nhau 2 đơn vị chức năng nên ta nhân nhì vế với 32 rồi áp dụng phương thức khử liên tiếp.

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) đến (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

*

• tổng quát cho dạng toán này như sau:

*

Ta nhân cả hai vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế cùng với vế ta được:

*

* lấy một ví dụ 4: Tính:

S = 1 – 23 + 26 – 29 . . . +296 – 299 (*)

° phía dẫn:

– Lũy thừa những số liên tiếp cách nhau 3 solo vị, nhân 2 vế cùng với 23 ta được:

23.S = 23.(1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế cùng với vế (**) với (*) được:

8S S = (23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102) (1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 

*

• tổng thể cho dạng toán này như sau:

*

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

*

IV. Dạng toán áp dụng công thức tính tổng những số hạng của dãy số bí quyết đều

• Đối cùng với dạng này nghỉ ngơi bậc học cao hơn hẳn như là THPT các em sẽ sở hữu công thức tính theo cung cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn cùng với lớp 6 những em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 hàng số cơ mà 2 số hạng liên tục cách rất nhiều nhau 1 số đơn vị ta sử dụng công thức:

 Số số hạng = <(số cuối – số đầu):(khoảng cách)> 1

– Để tính Tổng những số hạng của một dãy nhưng 2 số hạng liên tục cách rất nhiều nhau 1 số đơn vị chức năng ta cần sử dụng công thức:

Tổng = <(số đầu số cuối).(số số hạng)>:2

* lấy ví dụ như 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

° phía dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = <20.(39+1)>:2 = 10.40 = 400.

* lấy ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

° hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = <20.(59+2)>:2 = 10.61 = 610.

Xem thêm: Top Phần Mềm Cắt Ghép Nhạc Trên Iphone Đơn Giản Nhất, ‎Mp3 Cutter

V. Dạng toán tổng hòa hợp vận dụng những tổng đã biết

• cam kết hiệu: 

*

• Tính chất:

*

*

* Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

° phía dẫn:

– Ta có: 

*

– phương diện khác, lại có:

*
 (theo PP quy nạp sinh sống mục I).

*
 (theo PP quy nạp ngơi nghỉ mục I)

*

VI. Một số trong những bài tập tành tập về tính tổng hàng số gồm quy luật

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228