Tính Thể Tích Vật Thể Giới Hạn Bởi Các Mặt

     

Bài viết phía dẫn phương pháp ứng dụng tích phân nhằm tính thể tích đồ vật thể (gồm đồ thể giới hạn bởi các mặt phẳng cùng vật thể tròn xoay) trải qua lý thuyết, bí quyết tính, công việc giải toán và ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt

Kiến thức cần nắm:1. Thể tích của thứ thểGiả sử thứ thể $T$ được số lượng giới hạn bởi nhị mặt phẳng song song $(alpha )$, $(eta )$. Ta lựa chọn trục $Ox$ sao cho:$left{ eginarraylOx ot (alpha ) \Ox ot (eta )endarray ight.$ và đưa sử $left{ eginarraylOx cap (alpha ) = a\Ox cap (eta ) = bendarray ight.$Giả sử mặt phẳng $(gamma ) cap Ox$ và $(gamma ) cap Ox = xleft( a le x le b ight)$ cắt $T$ theo một thiết diện bao gồm diện tích $Sleft( x ight)$ (là hàm số liên tiếp theo biến $x$). Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $T$ được cho vị công thức: $V = intlimits_a^b S(x)dx .$

2. Thể tích của đồ thể tròn xoaya. Cho hàm số $y = fleft( x ight)$ liên tục với không âm trên đoạn $left< a;b ight>$. Thể tích của đồ vật thể tròn luân chuyển sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: $V = pi intlimits_a^b y^2dx $ $ = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .$b. Cho hàm số $x = fleft( y ight)$ liên tục và không âm trên đoạn $left< a;b ight>$. Tính thể tích đồ thể tròn xoay sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $x = fleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay quanh trục $Oy$ được cho vì chưng công thức: $V = pi intlimits_a^b x^2dy $ $ = pi intlimits_a^b f^2(y)dy .$

3. Thể tích khối nón cùng khối chóp, khối nón cụt với khối cầua. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích s đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được cho bởi $V = frac13Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích s hai đáy là $B_1$, $B_2$ và chiều cao $h$ được cho bởi: $V = frac13(B_1 + m B_2 + sqrt B_1..B_2 )h.$b. Thể tích của khối mong có bán kính $R$ được cho bởi: $V = frac43pi R^3.$

Dạng toán 1: Tính thể tích trang bị thểPhương pháp: Thực hiện nay theo nhì bước:+ Bước 1: xác minh công thức tính diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ (hoặc $Sleft( y ight)$) thông thường chúng ta gặp thiết diện là các hình cơ bản.+ Bước 2: lúc đó: $V = intlimits_a^b S(x)dx $ (hoặc $V = intlimits_a^b S(y)dy $).

Ví dụ 1: Tính thể tích của đồ thể:a. Nằm giữa hai khía cạnh phẳng $x = 0$ và $x = fracpi 2$, biết rằng tiết diện của vật dụng thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc cùng với trục $Ox$ tại điểm tất cả hoành độ $x$ $left( 0 le x le fracpi 2 ight)$ là một hình vuông vắn cạnh $sqrt sin ^3x .$b. Nằm giữa hai phương diện phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng tiết diện của trang bị thể bị giảm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ trên điểm có hoành độ $x$ $left( 1 le x le 4 ight)$ là một tam giác phần đông cạnh là $sqrt x – 1.$

a. Diện tích s thiết diện $Sleft( x ight)$ được mang lại bởi:$Sleft( x ight) = left( sqrt sin ^3x ight)^2$ $ = m sin^3x$ $ = frac14left( 3sin x – sin 3x ight) .$Khi đó, thể tích đồ dùng thể được mang lại bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = frac14intlimits_0^pi /2 left( 3sin x – sin 3x ight)dx $ $ = frac14left( – 3cos x + frac13cos 3x ight)left| eginarraylpi /2\0endarray ight.$ $ = frac23.$b. Diện tích thiết diện $Sleft( x ight)$ được cho bởi:$Sleft( x ight) = fracsqrt 3 4left( sqrt x – 1 ight)^2$ $ = fracsqrt 3 4left( x – 2sqrt x + 1 ight).$Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:$V = intlimits_ – 1^1 S(x)dx $ $ = fracsqrt 3 4intlimits_1^4 left( x – 2sqrt x + 1 ight)dx $ $ = fracsqrt 3 4left( frac12x^2 – frac43x^frac32 + x ight)left| _1^4 ight.$ $ = frac7sqrt 3 24.$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính những thể tích trang bị thể trên:+ Ở câu 1.a vị thiết diện là hình vuông (giả sử cạnh bởi $a$) yêu cầu ta bao gồm ngay $S = a^2$.+ Ở câu 1.b vị thiết diện là tam giác gần như (giả sử cạnh bằng $a$) cần ta tất cả ngay $S = fraca^2sqrt 3 4.$Dạng toán 2: Tính thể tích thứ thể tròn xoay dạng 1Phương pháp: Ta gồm hai dạng sau:+ Dạng 1: phương pháp tính thể tích đồ dùng thể tròn luân phiên sinh bởi vì miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ khi quay quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b y^2dx $ $ = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .$+ Dạng 2: phương pháp tính thể tích thứ thể tròn luân chuyển sinh vì miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $x = fleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ khi quay xung quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b x^2dy $ $ = pi intlimits_a^b f^2(y)dy .$

Chú ý: Trong một số trường hợp bọn họ cần tìm cận $a$, $b$ thông qua việc tùy chỉnh điều kiện ko âm mang lại hàm số $fleft( x ight)$ (hoặc $f(y)$).

Xem thêm: "Mái Ngói Tiếng Anh Là Gì - Ngói Trong Tiếng Anh Là Gì

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay chế tạo ra thành khi:a. Quay xung quanh trục hoành một hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = e^x$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = 3.$b. Quay xung quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = 3 – x^2$, trục tung và mặt đường thẳng $y = 1.$

a. Thể tích trang bị thể được mang đến bởi: $V = pi intlimits_0^3 y^2dx $ $ = pi intlimits_0^3 e^2xdx $ $ = fracpi 2e^2xleft| _0^3 ight.$ $ = fracpi 2(e^6 – 1).$b. Biến thay đổi hàm số về dạng: $y = 3 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 3 – y$ (cần tất cả điều kiện $3 – y ge 0$ $ Leftrightarrow y le 3$).Khi đó, thể tích thứ thể được đến bởi: $V = pi intlimits_1^3 x^2dy $ $ = pi intlimits_1^3 (3 – y)dy $ $ = pi left( 3y – fracy^22 ight)left| _1^3 ight.$ $ = 2pi .$

Nhận xét: Như vậy, nhằm tính những thể tích khối tròn luân chuyển trên:+ Ở câu 2.a bọn họ sử dụng ngay phương pháp trong dạng 1.+ Ở câu 2.b bọn họ cần thực thêm công việc biến hóa hàm số về dạng $x = fleft( y ight)$ và tại chỗ này nhờ đk có nghĩa của $y$ chúng ta nhận ra cận $y = 3.$

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay làm cho khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = m y = 0;y = sqrt 1 + cos ^4x + sin ^4x ;$ $x = fracpi 2;x = pi m .$b. $H = m y = 0;y = sqrt cos ^6x + sin ^6x ;$ $x = 0;x = fracpi 2 m .$

a. Thể tích thứ tròn xoay đề nghị tính được mang lại bởi:$V = pi intlimits_pi /2^pi (1 + cos ^4x + sin ^4x) dx$ $ = pi intlimits_pi /2^pi (frac7 – cos 4x4)dx $ $ = pi left( frac74x – frac116sin 4x ight)left| eginarraylpi \pi /2endarray ight.$ $ = frac78pi ^2$ (đvtt).b. Thể tích trang bị thể tròn xoay cần tính là:$V = pi intlimits_0^pi /2 (cos ^6x + sin ^6x)dx$ $ = pi intlimits_0^pi /2 (1 – frac34sin ^22x)dx $ $ = pi intlimits_0^pi /2 (frac58 + frac38cos 4x)dx $ $ = pi left( frac58x + frac332sin 4x ight)left| eginarraylfracpi 2\0endarray ight.$ $ = frac5pi ^216$ (đvtt).

Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay khiến cho khi ta cù hình $H$ quanh trục $Ox$, với:a. $H = left y = 3ax – x^2left( a > 0 ight),y = 0 ight.$b. $H = left y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e ight.$

a. Phương trình hoành độ giao điểm của $left( phường ight)$ và $Ox$ là:$3ax – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$Khi đó, thể tích cần xác minh được cho bởi:$V = pi intlimits_0^3a (3ax – x^2)^2dx $ $ = pi intlimits_0^3a (x^4 – 6ax^3 + 9a^2x^2)dx $ $ = pi left( frac15x^5 – frac3a2x^4 + 3a^2x^3 ight)left| eginarrayl3a\0endarray ight.$ $ = frac81a^5pi 10$ (đvtt).b. Thể tích đồ vật thể tròn xoay đề nghị tính là:$V = pi intlimits_1^e (xln x)^2 dx$ $ = pi intlimits_1^e x^2ln ^2x dx.$Để tính tích phân bên trên ta sử dụng cách thức tích phân từng phần, đặt:$left{ eginarraylu = ln ^2x\dv = x^2dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac2xln xdx\v = frac13x^3endarray ight.$Khi đó: $V = pi left( frac13x^3ln ^2x ight)left| eginarrayle\1endarray ight.$ $ – frac2pi 3intlimits_1^e x^2ln x dx$ $ = fracpi e^33 – frac2pi 3underbrace intlimits_1^e x^2ln x dx_I$ $(1).$Xét tích phân $I$, đặt:$left{ eginarraylu = ln x\dv = x^2dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = frac1xdx\v = frac13x^3endarray ight.$Khi đó: $I = frac13x^3lnxleft| _1^e ight. – frac13 intlimits_1^e x^2dx $ $ = frace^33 – frac19x^3left| _1^e ight.$ $ = frac2e^39 + frac19$ $(2).$Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = fracpi (5e^3 – 2)27$ (đvtt).

Xem thêm: Đề Văn 6: Kể Về Một Tấm Gương Vượt Khó Trong Học Tập Mà Em Biết

Dạng toán 3: Tính thể tích đồ dùng thể tròn chuyển phiên dạng 2Phương pháp: Ta gồm hai dạng sau:+ Dạng 1: công thức tính thể tích đồ vật thể tròn luân phiên sinh bởi vì miền $left( D ight)$ giới hạn bởi $y = fleft( x ight)$, $y = gleft( x ight)$, $x = a$, $x = b$ quay xung quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b left .$+ Dạng 2: phương pháp tính thể tích đồ vật thể tròn luân chuyển sinh bởi miền $left( D ight)$ giới hạn do $x = fleft( y ight)$, $x = gleft( y ight)$, $y = a$, $y = b$ quay quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b dy .$

Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay sinh sản thành khi:a. Quay xung quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị nhị hàm số $y = x^2$ và $y = 2 – x^2.$b. Quay xung quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hai hàm số $y = x$ và $y = 2 – x^2.$

a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x^2 = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 = 1$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Thể tích đồ tròn xoay đề nghị tính là:$V = pi intlimits_ – 1^1 x^4 – (2 – x^2)^2 ight $ $ = pi intlimits_ – 1^1 4x^2 – 4 ight $ $ = 4pi intlimits_ – 1^1 (1 – x^2)dx $ $ = 4pi left( x – fracx^33 ight)left| _ – 1^1 ight.$ $ = frac16pi 3.$b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:$x = 2 – x^2$ $ Leftrightarrow x^2 + x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 1 Rightarrow y = 1\x = -2 Rightarrow y = -2endarray ight.$Thể tích thiết bị thể được mang đến bởi:$V = pi intlimits_ – 2^1 left $ $ = frac92pi .$

Ví dụ 6: Cho hình tròn $left( C ight)$ tâm $Ileft( 0;2 ight)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay sản xuất thành khi:a. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Ox$.b. Quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$.

Đường tròn $(C)$ có phương trình: $left( C ight):x^2 + (y – 2)^2 = 1.$

*

a. Ta có:Ta chia đường tròn $(C)$ thành $2$ đường cong như sau:+ Nửa $left( C ight)$ ở trên ứng với $2 le y le 3$ gồm phương trình: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.+ Nửa $left( C ight)$ ở bên dưới ứng với $1 le y le 2$ bao gồm phương trình: $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $ với $x in left< – 1; m 1 ight>$.Khi đó, thể tích đồ gia dụng thể tròn xoay phải tính được sinh bởi hình tròn $(C)$ số lượng giới hạn bởi các đường: $y = f_1left( x ight) = 2 + sqrt 1 – x^2 $, $y = f_2left( x ight) = 2 – sqrt 1 – x^2 $, $x = -1$, $x = 1$ quay quanh $Ox$ được xem theo công thức: $V = pi intlimits_ – 1^1 f_1^2left( x ight) – f_2^2left( x ight) ight dx$ $ = 8pi intlimits_ – 1^1 sqrt 1 – x^2 dx$ $ = 4pi ^2.$b. Khi quay $left( C ight)$ quanh trục $Oy$ ta cảm nhận khối tròn xoay chính là hình cầu buôn bán kính $R = 1$, vị đó: $V = frac43pi R^3$ $ = frac43pi .$

Ví dụ 7: Tính thể tích trang bị thể tạo vị hình elip $left( E ight):fracleft( x – 4 ight)^24 + fracy^216 le 1$ quay quanh trục $Oy.$

Elip $left( E ight)$ có tâm $Ileft( 4,0 ight)$, trục lớn gồm độ dài $2a = 8$, trục nhỏ dại có độ dài $2b = 4.$

*

Ta chia đường biên giới của elip $(E)$ thành $2$ mặt đường cong như sau:+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $2 le x le 4$ tất cả phương trình: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$+ Nửa biên $left( E ight)$ ứng với $4 le x le 6$ có phương trình: $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $ với $y in left< – 4;4 ight>.$Thể tích vật dụng thể tròn xoay yêu cầu tính được sinh vì chưng miền $E$ giới hạn bởi những đường: $x = f_1left( y ight) = 4 – 2sqrt 1 – fracy^216 $, $x = f_2left( y ight) = 4 + 2sqrt 1 – fracy^216 $, $y = -4$, $y = 4$ quay quanh trục $Oy$ được xem theo công thức:$V = pi intlimits_ – 4^4 left( f_2^2(y) – f_1^2(y) ight) dy$ $ = 32pi intlimits_ – 4^4 sqrt 1 – fracy^216 dy$ $ = 64pi ^2.$